|
Patratul magic
Un patrat magic de latura n contine numere pozitive intregi (1, 2, 3 ... n2) astfel incat suma celor n numere de pe orizintala, verticala sau de pe diagonala principala este intotdeauna acceasi (numit si numarul magic):
Daca fiecare numar din patrat este scazut din n2+1, se obtine patratul magic complementar. Un patrat ce contine toate numere consecutive, incepand cu 1, este cunoscut drept patratul magic "normal".
Inca nu se stie cum se poate determina numarul de patrate magice de un anumit ordin, dar se stie ca pentru ordinul n = 1, 2, 3, 4 si 5 exista cate 1, 0, 1, 880 si respectiv
275305224 astfel de patrate distincte. Cele 880 de patrate pentru ordinul 4 au fost enumerate de
Frenicle de Bessy in secolul XVII. In 1973,
R. Schroeppel calculeaza numarul de patrate distincte corespunzatoare ordinului 5. Pentru ordinul 6 numarul de patrate magice distincte nu este cunoscut, dar
Pinn si Wieczerkowski (1998) l-au estimat ca fiind aprox 1.7745x1019.
Patratul semimagic
Un patrat care nu repescta conditia de magic doar pentru prima sau ambele diagonale principale se numeste semimagic. Unii autori insa considera patratul semimagic ca fiind magic.
Patratul "panmagic"
Daca suma de pe toate diagonalele patratului magic (inclusiv cele care "inconjoara" marginea) au ca rezultat numarul magic atunci patratul se numeste "panmagic" (eng.). Se mai foloseste cateodata si termenul de patratul diabolic pentru un astfel de patrat.
Nu exista astfel de patrat de ordinul 3 sau de ordinul 4k+2 (k intreg). Pentru n = 1, 2, 3, 4 sau 5 exista
1, 0, 0, 48 si respectiv 3600 astfel de patrate. Mai jos sunt ilustrate cele 48 patrate de ordinul 4:
Patratul bimagic
Daca inlocuind fiecare element al unui patrat magic cu patratul sau rezulta tot un patrat magic, patratul respectiv se numeste bimagic. Primul patrat bimagic cunoscut (ilustrat mai jos) are ordinul 8 numarul sau magic fiind 260 respectiv 11 180 (dupa ridicare la patrat). Se pare ca nu exista nici un patrat bimagic de ordin mai mic de 8.
Patrat magic asociativ
Un patrat magic de ordin n pentru care fiecare pereche de numere simetric opuse fata de centru, adunate dau n2+1 se numeste patrat magic asociativ. Pentru n = 1, 2, 3, 4 ... se cunosc respectiv cate
1, 0, 1, 48, ... astfel de patrate.
Patratele magice de ordin 4 pot fi "panmagice" sau asociative, niciodata ambele. Un patrat magic poate fi si asociativ si "panmagic" doar de la ordinul 5 in sus. Numarul de patrate asociative "panmagice" pentru n = 1, 2, 3, 4, 5 ... este
1, 0, 0, 0, 16, ...
Patrate magice multiplicative
Un patrat care este magic pentru inmultire in loc de adunare se numeste patrat magic multiplicativ. Spre deosebire de patratele magice clasice, cele n2 valori nu trebuie sa fie neaparat consecutive. Iata un exemplu de astfel de patrat:
Patrate magice aditivo-multiplicative
Patratele magice care sunt simultan magice atat fata de operatia de adunare cat si fata de inmultire se numesc aditivo-multiplicative. De exemplu, primul patrat din cele 3 de mai jos are constanta magic fata de adunare egala cu 840 si cea fata de inmultire egala cu 2 058 068 231 856 000:
Patrate antimagice
Sunt patratele pentru care sumand fiecare rand, fiecare coloana sau diagonalele obtinem rezultate diferite dar consecutive. Au fost definite de Lindon si
(1962) au aparut pentru prima date in colectia de puzzle-uri a lui Madachy. Patratele antimagice de ordin 4 - 9 sunt ilustrate mai jos:
Patratul margine
Un patrat magic care ramane magic chiar dupa ce i se indeparteaza marginea se numeste patrat margine. Un astfel de patrat de ordin 7 este ilustrat mai jos:
Un astfel de patrat de dimensiuni mult mai mari (13 x 13) este ilustrat mai jos. Indepartand marginile una cate una obtinem patrate margine 11 x 11, 9 x 9 .... 3 x 3:
Patratul magic prim
Un patrat magic prim este un patrat magic ce consta doar din numere prime.
J. N. Muncey a descoperit in 1913 cel mai mic posibil patrat magic prim construit din toate primele numere prime consecutive:
Cel mai mic patrat prim construit din numere prime consecutive are dimensiunea 3 x 3 dupa cum a aratat
Nelson in 1994:
Patratul alphamagic
Este o versiune a patratului magic care in loc de cifre foloseste litere. Un astfel de patrat a fost gasit in timpul excavatiilor din Pompei si care continea o fraza in latina "Sator Arepo tenet opera rotas" ("Fermierul Arepo mentine lumea invartindu-se"):
|
