E interesant sa vezi demonstrat ca 64=65 sau ca orice triunghi este isoscel sau ca 1=0 etc. Bineinteles ca fiecare demonstratie are cate o mica greseala dar de cele mai multe ori este ascunsa cu dibacie in corpul demonstratiei. Vă invit asadar să vă puneti creierasul la contribuitie si să descoperiti toate aceste mici greseli ascunse atat de bine in demonstratiile de mai jos. Good luck!.

63 = 64 = 65 (demonstratie cu arii)

63 = 64 = 65. Pare imposibil dar asa este. Poate aritmetic e mai greu de demonstrat insa lucrul asta se poate face foarte usor pe cale geometrica. Pentru aceasta demonstratie am ales un patrat de latura 8 (patratele) care, dupa cunostiintele mele, are aria egala cu 8 x 8 = 64. Acest patrat l-am impartit in patru parti distincte dupa cum se poate vedea in figura alaturata. S-au format astfel 2 triunghuri si 2 trapeze dreptunghice pe care le-am colorat diferit pentru a va fi dvs mai usor sa urmariti firul demonstratiei. De asemeni am notat pe fiecare figura si dimensiunile acesteia. Recombinand apoi aceste piese (si bineinteles pastrand dimensiunile), ar fi trebuit sa obtin o noua figura de aceeasi arie 64 . M-am inselat insa. Alaturat aveti 2 moduri in care am recombinat cele 4 figuri. Observati ca au aceleasi dimensiuni (am micsorat un pic dimensiunea patratelului de baza - din considerente de asezare in pagina, insa fiecarei figuri componente i-am acordat aceleasi numar de patratele) si totusi figurile rezultate au arii diferite. In primul caz am obtinut o figura (un dreptunghi) cu aria 5 x 13 = 65 iar in al doilea caz o figura cu aria 5 x 5 + 1 x 13 + 5 x 5 = 63. Va las pe dvs, ca in continuare sa gasiti raspunsul la aceasta egalitate .... inegala.

58 = 59 = 60 (tot cu arii)

Tot in spiritul demostratiei de mai sus se poate usor demostra ca 58 = 59 = 60. 60 este aria primului triunghi, 58 este aria celui de al doilea triunghi - care desi este format din aceleasi piese are totusi 2 patratele lipsa (goale) in centrul lui, iar 59 este aria ultimei figuri formata, bineinteles, tot din aceleasi piese. Egalitatea celor 3 valori de mai sus (60, 58 si 59) este asigurata de faptul ca toate figurile sunt formate din aceleasi piese cu arii constante.

63/2 = 65/2

Am vazut mai sus ca 64 = 65. De data asta am sa va demonstrez ca 63/2 = 65/2. Demonstratia se face, ca si mai sus, tot cu ajutorul ariilor. In figura alaturata, dupa cum puteti vedea, sunt 2 triunghiuri formate din aceleasi piese. Intr-adevar, piesele sunt asezate in alta ordine, dar asta nu ar trebui sa influenteze aria figurii, nu? Arie, care in cazul primului triunghi este (13 x 5)/2 iar in cazul celui de-al doilea triunghi .... mai mica cu 1! Punctul negru din patratul alb ramas liber in triunghiul de jos marcheaza elementul de arie lipsa. Cum latura unui patrat am considerat-o unitara, aria acestuia este 1 si deci triunghiul de jos are aria mai mica!

1 = 0 (demonstratie algebrica)

Fie a = 1 si deci a - 1 = 0 (a este un numar intreg).
Atunci si a 2 - 1 = 0.
a - 1 = 0 si a 2 - 1 = 0 rezulta ca a - 1 = a 2 - 1

Egalitatea se transforma in a - 1 = (a - 1)(a + 1)
Simplificand obtinem 1 = a + 1 si deci a = 0 .

Dar am pornit de la ipoteza ca a = 1 si am ajuns la a = 0. Deci 1 = 0 . (q.e.d.)

deci 1 = -1 (q.e.d.)

1 = -1 (demonstratie cu logaritmi)

Pornim de la un adevăr matematic : (-1)² = 1

Logaritmăm în baza 10: lg((-1)²) = lg (1) (da! este posibil).
Amintiti-vă din liceu că : lg (ab)= b.lg(a)
Aplicând deci această proprietate ecuatiei de mai sus obtinem : lg(-1²) = 2 lg(-1).

Inlocuind în prima ecuatie obtinem: 2 lg(-1) = lg(1)
Dar lg(1) = 0, ceea ce este echivalent cu 2 lg(-1) = 0
Impărtind la 2, obtinem: lg(-1) = 0

Din definitia logaritmului stiim ca dacă lg(a) = b, atunci 10 b = a.
Deci, deoarece lg(-1) = 0, rezulta 10⁰ = -1.
Dar 10⁰ = 1. Deci, 1 = -1 (q.e.d.)

Orice triunghi este isoscel

Fie triunghiul ABC oarecare. Voi incerca în continuare să vă demonstrez că de fapt este isoscel, si extrapolând, că orice triunghi oarecare este isoscel.

Fie bisectoarea unghiului A si mediatoarea laturii BC (care pleacă din punctul D = mijlocul segmentului BC). Fie O punctul lor de intersectie. Din O ducem perpendiculare pe laturile AB si AC in punctele E si respectiv F (OE = OF pentru ca orice punct de pe bisectoare este egal depărtat de laturi).

De asemeni unim O cu vârful B si cu C, rezultând astfel 2 segmente egale (OB = OC pentru ca orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului).

Triunghiurile AOE = AOF (cazul ULU pt ca: AO = bisect, OE = OF, E = F = 90 grade) si deci AE = AF (1).

Dar si triunghiurile BOE = COF (cazul LUL ot ca : E = F = 90 grade, OC=OB, OF=OE) si deci si FB = EC (2).

(1) + (2) => AB = AC (q.e.d.)

Orice unghi drept este si ascutit

Fie ABCD un patrulater astfel încât AB = CD, dar < ABC = 90° in timp ce < BCD = 89° (rezulta ca AD si BC nu sunt paralele)

Dacă ducem mediatoarele segmentelor AD si BC atunci ele se vor întâlni într-un punct O (pentru că, după cum am spus AD nu e paralel cu BC)

Unind acest punct O cu cele 4 colturi ale patrulaterului vor obtine 4 segmente : AO, BO, CO, DO. Deoarece orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele acestuia, si O este intersectia celor 2 mediatoare amintite mai sus, rezultă că AO = DO si BO = CO

Triunghiurile AOB si COD sunt congruente (cazul LLL pt că: AO = DO, AB = CD, BO = CO) si deci < ABO = < DCO (1)

Dar triunghiul BOC = isoscel pentru că BO = CO. Rezultă deci că si < OBC = < OCB (2).

(1) + (2) => < ABC = < BCD (q.e.d.)

a = 1 (ipoteza initială)
De asemeni : a = a si deci a 2 =a 2 . Atunci a 2 - a 2 = a 2 - a 2

(a + a)(a - a) = a (a - a)
simplificând obtinem a + a = a

1 + 1 = 1 si deci 2 = 1 (q.e.d.)

x=y (ipoteza initială)

Deci x-y=0; inmultim cu 2 => 2(x-y)=0.
Dar 0=x-y asa ca 2(x-y)=x-y

Impartind ecuatia de mai sus cu x-y obtinem 2 = 1 (q.e.d.)

Un ... paradox

Exista un joc ce se cheama Tangram, un fel de Lego, in care sunt date tot felul de piese, de toate formele, marimile si culorile si cu care se pot face, cu un pic de imaginatie, tot felul de figuri interesante. O astfel de figura este si cea din dreapta, figura ce, desi este constuita din aceleasi piese, pare a avea arie diferita daca piesele sunt aranjate altfel. Mai precis, a doua figura are aceeasi palarie, acelasi cap, aceleasi brate, acelasi corp (ca arie) dar pare a mai avea un picior in plus .... Puteti spune dvs de unde apare acel picior?

Un ... paradox ... reloaded :-)

Din nou o problema de aranjare a acelorasi piese. Desi patratul din stanga este complet, am schimbat putin pozitia pieselor si am adaugat si patratelul mic din dreapta lui, rezultand ... aceeasi figura! Va las pe dvs sa descoperiti trucul aceastui ... paradox.

2 = 3

4-10=9-15 (ipoteza initială)
Adaugam in fiecare parte 25/4 si deci 4+25/4-10=9+25/4-15.

Pentru ca sunt patrate perfecte, ecuatia de mai sus poate fi scrisa astfel : (2-5/2) 2 =(3-5/2) 2 .
Extragand radicalul obtinem : 2-5/2=3-5/2.

Daca la aceasta ultima ecuatie aduman in ambele parti 5/2 obtinem 2=3 (q.e.d.)