Sectiunea de aur, segmentul de aur sau proportia divină reprezintă toate acelasi lucru adică cea mai armonioasă împărtire, proportionare a figurilor geometrice. Consider că cele 3 denumiri reprezintă mai bine si mai complet notiunea în functie de context, si deci am folosit si toate denumirile la momentul oportun.

Dar ce este segmentul de aur? Considerând definitia dată de Eves: " Despre un punct se spune că împarte un segment în ratia de aur, când cel mai lung dintre cele 2 segmente formate este media proportională între segementul mai scurt si întreaga linie. Raportul dintre segmentul mai scurt si cel mai lung reprezintă tocmai Segmentul de Aur " (Eves, 1983). O definitie mai usor de înteles este următoarea: " Segmentul de aur se poate afla împărtind un segment în două părti astfel încât lungimea părtii mai mici raportată la lungimea părtii mai mare, să fie egală cu lungimea părtii mai mare raportată la întreg segmentul. " (Yunker, 1986).

1. Trasati o dreaptă L
2. Intr-un punct A al dreptei L duceti perpendiculara M
3. Considerati un segment AB de lungime 1 pe dreapta M (lungimea 1 este o lungime de referintă, în functie de ea le vor raporta pe celelalte)
4. Considerati un segment AC tot de lungime 1 dar pe dreapta L
5. Considerati segmentul CD tot de lungime 1 si tot pe dreapta L, astfel ca AD sa aiba lungimea 2
6. Cu compasul in punctul B, marcati distanta BD de-a lungul dreptei M în sens opus lui A. Notati intersectia cu E

Raportul AE / AD este Proportia divină sau Raportul de aur.

1. Trasati o dreaptă L
2. Intr-un punct A al dreptei L duceti perpendiculara M
3. Considerati un segment AB de lungime 1 pe dreapta M (lungimea 1 este o lungime de referintă, în functie de ea le vor raporta pe celelalte)
4. Considerati un segment AC tot de lungime 1 dar pe dreapta L
5. Considerati segmentul CD tot de lungime 1 si tot pe dreapta L, astfel ca AD sa aiba lungimea 2
6. Cu compasul in punctul B, marcati distanta BD de-a lungul dreptei M în sens opus lui A. Notati intersectia cu E

Dreptunghiul ADFE, sau oricare similar lui, este numit dreptunghiul de aur. De asemenea, se poate arăta că EF / EH este raportul de aur, dar si că dreptunghiul EFGH este tot un dreptunghi de aur.

Definitie

(definitia nu e dată în terminologia standard): Un triunghi de aur ascutit-unghic este un triunghi isoscel, cu laturile congruente mai lungi decât baza si care formează un raport de aur cu aceasta. Un triunghi de aur optuz-unghic este un triunghi isoscel, cu laturile congruente mai scurte decât baza si care formează cu aceasta un raport de aur.

Se consideră un triunghi de aur ascutit-unghic ABC, cu lungimea bazei AB = 1 si celelalte 2 laturi de lungime g. (am notat cu g raportul de aur, si cu m unghiurile congruente ale triunghiului)

Fie D un punct pe BC astfel încât AD = 1. Dreapta AD împarte triunghiul ABC în 2 triunghiuri mai mici : ABD si ADB. Deoarece AD = AB = 1 => < ABD = < ADB = m (unde cu < este simbolul pentru unghi). Se demonstrează usor că triunghiul ABD este asemenea lui ABC, si folosind proportiile si segmentul de aur, că BD = g-1. In concluzie CD = 1. Se poate afla si ungiul m ce caracterizează tringhiurile de aur.

Se poate observa deci că un triunghi de aur (ABC) se poate împărti în două triunghiuri de aur (ACD si ABD). Proprietatea este valabilă si în cazul triunghiului optuz-unghic.

Metoda 1

Construiti un triunghi de aur ascutit-unghic (1,g,g). Apoi construiti câte un triunghi de aur optuz-unghic (1,1,g) pe fiecare latură congruentă a triunghiului initial, astfel încât lungimea laturilor să corespundă (vezi figura). Figura astfel formată este un pentagon.

O altă metodă mai directă

Vom încerca în continuare constructia unui pentagon regulat pornind de la o dreaptă.

1. Fie astfel segmentul AB care, pentru o mai usoară demonstratie, se va lua de lungime 1.
2. Fie M mijlocul segmentului AB
3. Construiti o perpendiculară în A
4. Construiti cercul c1 cu centrul în A si de rază 1. Fie F punctul de intersectie cu perpendiculara în A
5. Cu compasul în M, duceti un arc de cerc de rază MF. Fie G intersectia cu dreapta suport pentru segmentul AB. Notăm lungimea AG cu g (e oare notatia întâmplătoare?)
6. Construiti cercurile c2 si c3 cu centrele în A si B si de rază g. Fie D si respectiv E intersectiile cu cercul c1.
7. Construiti cercul c4 cu centrul în B si de rază 1. Fie C punctul de intersectie cu cercul c2

ABCDE este un pentagon regulat.

Constructia spiralei de aur

1. Construiti un dreptunghi de aur si pătratul corespunzător lui, în interior
2. Inscrieti un sfert de cerc în acest pătrat
3. In dreptunghiul de aur care a mai rămas mai faceti un pătrat
4. Inscrieti din nou un sfert de cerc în acest ultim pătrat astfel încât să fie conectat cu primul sfert de cerc.
5. Construiti în continuare pătrate si arce de cerc din ce în ce mai mici.

Un număr interesant

Introduceti numărul 1.618 într-un calculator si încercati să-i obtineti inversul (de ex funtia 1/x). Ceea ce obtineti este un număr ce se aseamănă foarte mult cu originalul, doar că îi lipseste partea întreagă. Adică 1 / 1.618 = 0.618 (mai mult sau mai putin). Pentru a găsi valoarea exactă puteti rezolva problema următoare:

Găsiti un nnumăr x astfel încât când îl inversati să obtineti x-1. Problema se reduce la rezolvarea ecuatiei 1 / x = x - 1

Rezolvând ecuatia obtinem : x² - x - 1 = 0 => ceea ce înseamnă aproximativ 1.618033989. Foarte interesant este faptul că acest număr se poate reprezenta si formă de fractie continuă si infinită astfel:

Seria Fibonacci

Orice scolar învată de seria Fibonacci, care arată astfel:

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Primii doi termeni sunt ambii 1, iar fiecare termen de după, este egal cu suma ultimilor 2 termeni antecedenti lui. Pe măsură ce sirul continuă, raportul dintre termenul n si cel precedent lui (termenul n - 1) se apropie de 1.618033989.

Cum asa? Fie x egal cu raportul a doi termeni consecutivi. Dacă se notează cu N termenul k, atunci se ajunge la ecuatia Nx² = Nx + N care se reduce la x² - x - 1 = 0. Dacă o rezolvati veti obtine tocmai 1.618033989 [Mai multe ...]

Proportia divină

Mai multe despre legătura dintre natură si proportia divină găsiti în sectiunea o alta fata - proportia divină

S-au scris nenumărate volume în care se arată însemnătatea sectiunii de aur si a proportiei divine, atât din punct de vedere matematic, cât si din alte puncte de vedere total diferite de preocupările stiitifice. De pildă, estetul german A. Zeissing a scris o lucrare în 1854 cu titlul "Noua doctrină despre proportiile corpului omenesc după o lege morfologică fundamentală rămasă până acun necunoscută, care pătrunde întreaga natură si artă" ("Neue Lehre von den Proportionen des menschliches Körpers aus einem bisher unbekannt gebliebenem, die ganze Natur und Kunst durch dringendem morphologischem Grundgesetze"). Acest autor arată că gâtul împarte trupul după sectiunea de aur, lăsând pentru cap partea mică, si că mijlocul corpului omenesc împarte toată înăltimea corpului după sectiunea de aur.

Hegel (1770 - 1831) si Friedrich Wilhelm Joseph Schelling (1775 - 1854), cei doi filozofi germani, au introdus sectiunea de aur în studiile lor de estetică. Sanzio Rafael (1483 - 1520), mare geniu pictor al Renasterii, tinea seama de media si extrema ratie în antomia corpului omenesc. La noi Mathilda Ghyka a scris o carte cu titlu "Numărul de aur".

Dar să nu se creadă că sectiunea de aur si proportia divină se întâlnesc în stiinte si arte (inginerie si arhitectură) numai de pe timpul renasterii sau eventual din veche Eladă. In gravurile făcute de oamenii preistorici, urmasi ai omului din Neanderthal sau Cro-Magnon, urmasi care au reprezentat caii, mamutii, bizonii sau renii, se respectă proportiile si chiar proportia divină. Evident, ei nu stiau nimic despre proportii. Nu stiau nimic de figurile asemenea din geometrie, dar respectau proportiile, executau la scară, desenau asemenea cu cele ce vedeau în realitate, respectau simetria.

Cu aparitia civilizatiei sumeriene si babiloniene în Babilon ori în NInive, sau la egipteni pe malurile Nilului, în toate desenele si ornamentatiile s-au păstrat regulile primelor notiuni de geometrie descoperite de mintea omenească. Ei au descoperit astfel cu mult înainte de epoca de aur grecească, cu mult înainte chiar de epoca babiloneană, cum să construiască un cerc si, odată cu acesta, figurile înscrise în el (poligoane regulate). Iar când au ajuns la constructia pentagonului regulat, care, asa cum ne arată si astăzi geometria, se obtine după ce se înscrie în cerc un decagon regulat convex si se unesc vârfurile din două în două, au aplicat în constructia acestuia sectiunea de aur (asa cum am arătat mai sus).

Sectiunea de aur, problema mediei si extremei ratii (o altă denumire pentu aceasta), a fost cunoscută deci înainte de Euclid. De când anume în negura vremurilor, niumeni nu poate preciza.

La noi se stie că am avut prima geometrie tipărită abia în 1837, ca traducere a lui Petrache Poenaru după cunoscuta Geometrie a lui Legrende. Când a fost vorba însă de sectiunea de aur, Petrache Poenaru a tradus expresia franceză corespuzătoare prin "de mijloacă si de margine proportională". Chiar mai târziu, în cartea "Elemente de geometrie" a lui Dumitru Petrescu, tipărită în 1874, i se spune segmentului de aur "de mijloacă si extremă ratie".

autor: Radu Vranceanu
Modificat: